Question

已知α为第二象限角，cos

α

2

+sin

α

2

=-

5

2

，求sin

α

2

-cos

α

2

和sin2α+cos2α的值．

Answer 1

分析：本题考查的知识是同角三角函数基本关系的运用，及倍角公式，由已知中知α为第二象限角，且cos

α

2

+sin

α

2

=-

5

2

，平方后，我们易得sinα值，进而也可给出cosα，利用平方差公式，即可求出sin

α

2

-cos

α

2

，利用倍角公式即可求出sin2α+cos2α的值

解答：解：由cos

α

2

+sin

α

2

=-

5

2

平方得
1+2sin

α

2

cos

α

2

=

5

4

，
即sinα=

1

4

，cosα=-

15

4

．
此时kπ+

π

4

＜

α

2

＜kπ+

π

2

．
∵cos

α

2

+sin

α

2

=-

5

2

＜0，
sin

α

2

cos

α

2

=

1

8

＞0，
∴cos

α

2

＜0，sin

α

2

＜0．
∴

α

2

为第三象限角．
∴2kπ+

5π

4

＜

α

2

＜2kπ+

3π

2

，k∈Z．
∴sin

α

2

＜cos

α

2

，
即sin

α

2

-cos

α

2

＜0．
∴sin

α

2

-cos

α

2

=-

1-sinα

=-

3

2

，
sin2α+cos2α=2sinαcosα+1-2sin²α=

7- 15

8

．

点评：三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．由三角函数值判断

α

2

的范围是关键．