Question

已知方程（x²-mx-8）（x²-nx-8）=0的四个根组成一个首项为1的等比数列，则mn=

-14

．

Answer 1

分析：根据一元二次方程根与系数的关系和等比数列性质分析，四个根组成的首项为 1的等比数列的首项与末项的积等于第二项与第三项的积等于-8，从而确定数列的每一项，再由两根之和分别为m、n，即可求出结果．

解答：解：∵方程（x²-mx-8）（x²-nx-8）=0?x²-mx-8=0 ①或x²-nx-8=0 ②
设方程①两根为x₁，x₄，方程②两根为x₂，x₃，则，x₁x₄=-8，x₁+x₄=m  x₂x₃=-8，x₂+x₃=n
∵方程（x²-mx-8）（x²-nx-8）=0的四个根组成一个首项为 1的等比数列
∴x₁，x₂，x₃，x₄分别为这个数列的前四项，且x₁=1，x₄=-8，公比为-2，
∴x₂=-2，x₃=4，
∴m=x₁+x₄=1-8=-7，n=x₂+x₃=-2+4=2，
故则mn=-14．
故答案为：-14．

点评：本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系和等比数列的性质，解题时要认真观察，熟练运用性质．