Question

（2012•顺义区二模）对于定义域为A的函数f（x），如果任意的x₁，x₂∈A，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称函数f（x）是A上的严格增函数；函数f（k）是定义在N^*上，函数值也在N^*中的严格增函数，并且满足条件f（f（k））=3k．
（Ⅰ）判断函数f（3^x）=2×3^x（x∈N）是否是N上的严格增函数；
（Ⅱ）证明：f（3k）=3f（k）；
（Ⅲ）是否存在正整数k，使得f（k）=2012，若存在求出k值；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）定义法：设任意的x₁，x₂∈N，当x₁＜x₂时，通过作差判断f（3x1）与f（3x2）的大小关系，根据严格增函数的定义可作出判断；
（Ⅱ）由f（f（k））=3k，得f[f（f（k））]=f（3k）①，再由f（f（k））=3k，得f[f（f（k））]=3f（k）②，联立①②可得结论．
（Ⅲ）先证明：f（3^k-1）=2×3^k-1（k∈N*），由此可知存在p=3^k-1+1，当p个连续自然数从3^k-1→2×3^k-1时，函数值正好也是p个连续自然数从f（3^k-1）=2×3^k-1→f（2×3^k-1）=3^k，据此可得结论．

解答：（Ⅰ）解：设任意的x₁，x₂∈N，当x₁＜x₂时，有3x1＜3x2，则3x1-3x2＜0，
∴f（3x1）-f（3x2）=2•3x1-2•3x2=2（3x1-3x2 ）＜0，
∴函数f（3^x）=2×3^x（x∈N）是N上的严格增函数．
（Ⅱ）证明：∵对k∈N^*，f（f（k））=3k，
∴f[f（f（k））]=f（3k）①，
由已知f（f（k））=3k，得f[f（f（k））]=3f（k）②，
由①、②得f（3k）=3f（k），
故f（3k）=3f（k）；
（Ⅲ）先证明：f（3^k-1）=2×3^k-1（k∈N*）．
若f（1）=1，由已知f（f（k））=3k得f（1）=3，矛盾；
设f（1）=a＞1，∴f（f（1））=f（a）=3，③
由f（k）严格递增，即1＜a⇒f（1）＜f（a）=3，得

f(1)≠1 f(1)＜3 f(1)∈N*

，
∴f（1）=2，
由③f（f（1））=f（a）=3，得f（f（1））=f（2）=3，
∴f（1）=2，f（2）=3，f（3）=3f（1）=6，f（6）=f（3•2）=3f（2）=9，f（9）=3f（3）=18，f（18）=3f（6）=27，f（27）=3f（9）=54，f（54）=3f（18）=81，…
依此类推归纳猜出：f（3^k-1）=2×3^k-1（k∈N*）．
下面用数学归纳法证明：
（1）当k=1时，显然成立；
（2）假设当k=l（l≥1）时成立，即f（3^l-1）=2×3^l-1，
那么当k=l+1时，f（3^l）=f（3×3^l-1）=3f（3^l-1）=3×2×3^l-1=2•3^l．猜想成立，
由（1）、（2）所证可知，对k∈N^*f（3^k-1）=2×3^k-1成立．
∵f（3^k-1）=2×3^k-1（k∈N*），且f（x）是严格单调增函数，
∴存在p=3^k-1+1，当p个连续自然数从3^k-1→2×3^k-1时，函数值正好也是p个连续自然数从f（3^k-1）=2×3^k-1→f（2×3^k-1）=3^k．
而2×3^7-1＜2012＜3⁷，即f（3^7-1）＜2012＜f（2×3^7-1），
∴必存在k，满足3^7-1＜k＜2×3^7-1，使得f（k）=2012．

点评：本题考查函数的单调性、函数恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性较强，难度较大，对能力要求极高．