Question

已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)是定义在R上的函数，其图象交x轴于A，B，C三点．若点B的坐标为(2，0)，f(x)在[－2，0]和[4，6]上是单调的，且f(x)在[－2，0]和[4，6]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，6]上有相反的单调性． (1) 求c的值 (2) 求|AC|的取范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	证明：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c 由题意f(x)在[－1，0]和[0，2]上有相反的单调性， ∴x＝0是f(x)的一个极值点，故f′(0)＝0，得c＝0．
(2)	解：因为f(x)图象交x轴于点B(2，0)， ∴8a＋4b＋d＝0，即d＝－4(b＋2a)． 令f′(x)＝0得3ax2＋2bx＝0，x1＝0，x2＝－， 因为f(x)在[0，2]和[4，6]上有相反的单调性， ∴f′(x)在[0，2]和[4，6]上有相反的符号 故2≤≤4，得－6≤≤－3 又 设，则 ∴ ∵－6≤≤－3 ∴当时，|AC|min＝3；当时|AC|max＝ 故3≤|AC|≤