Question

已知函数f（x）=cosωx（ω＞0），x∈R．
（1）当ω=2时，求函数f（x）取得最大值时x的集合；
（2）若函数f（x）的图象过点M(

3π

4

，0)，且在区间[0，

π

2

]上是单调函数，求ω的值；
（3）在（2）的条件下，若f(

π

2

)＜0，画出函数y=f（x）在[-

π

8

，

5π

8

]上的图象．

Answer 1

分析：（1）当ω=2时，函数f（x）=cos2x，当函数f（x）=cos2x取得最大值时，由2x=2kπ，k∈Z，求出x的集合．
（2）由f（x）的图象过点M(

3π

4

，0)，可得cos(

3π

4

ω)=0，又ω＞0，可得 ω=

2

3

(2k+1)，k∈N；经过检验，当k=0或1 时，满足条件，从而得到ω的值．
当k≥2时，不满足条件．
（3）由（2）知满足f(

π

2

)＜0的函数为f（x）=cos2x，列表，在坐标系中描点作图．

解答：解：（1）当ω=2时，函数f（x）=cos2x．   当函数f（x）=cos2x取得最大值时，2x=2kπ，k∈Z，即x=kπ，k∈Z．（2分）
∴当ω=2时，函数f（x）取得最大值时x的集合为{x|x=kπ，k∈Z}．（3分）
（2）∵f（x）的图象过点M(

3π

4

，0)，
∴cos(

3π

4

ω)=0．（4分） 
又ω＞0，
∴

3π

4

ω=kπ+

π

2

，k∈N，∴ω=

2

3

(2k+1)，k∈N．（5分）
当k=0时，ω=

2

3

，f(x)=cos

2

3

x在区间[0，

π

2

]上是减函数； （6分）
  当k=1时，ω=2，f（x）=cos2x在区间[0，

π

2

]上是减函数；  （7分）
当k≥2时，ω≥

10

3

，f（x）=cosωx在区间[0，

π

2

]上不是单调函数．（8分）
综上，ω=

2

3

或ω=2．（9分）
（3）由（2）知满足f(

π

2

)＜0的函数为f（x）=cos2x，列表：

2x	- π 4	0	π 2	π	5π 4
x	- π 8	0	π 4	π 2	5π 8
cos2x	2 2	1	0	-1	- 2 2

（10分）
其在区间[-

π

8

，

5π

8

]上的图象是：
（12分）

点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，余弦函数的单调性和最值的求法，属于中档题．