Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AC=

2

，AA1=

3

，则面AB₁C与面ABCD所成角的为（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  π

  3

• D．

  π

  2

Answer 1

分析：设DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由AB=BC=

2

，AA1=

3

，知

AB1

=（0，

2

，

3

），

AC

=（-

2

，

2

），设平面AB₁C的法向量为

n1

=（x，y，z），由

n1

•

AB1

=0，

n1

•

AC

=0，求出

n1

=（1，1，-

6

3

），再由面ABCD的法向量

n2

=（0，0，1），利用向量法能够求出面AB₁C与面ABCD所成角．

解答：解：设DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=BC=

2

，AA1=

3

，
∴A（

2

，0，0），B₁（

2

，

2

，

3

），C（0，

2

，0），
∴

AB1

=（0，

2

，

3

），

AC

=（-

2

，

2

），
设平面AB₁C的法向量为

n1

=（x，y，z），
则

n1

•

AB1

=0，

n1

•

AC

=0，
∴

2 y+ 3 z=0 - 2 x+ 2 y=0

，∴

n1

=（1，1，-

6

3

），
设面AB₁C与面ABCD所成角的为θ，
∵面ABCD的法向量

n2

=（0，0，1），
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

0+0- 6 3

2 6 3

|=

1

2

，
∴θ=

π

3

．
故选C．

点评：本题考查二面角的求法，解题时要认真审题，仔细解答，合理地建立空间直角坐标系，利用法量法求解．