Question

5．如果一个三角形最大角是最小角的2倍，且三边是连续的自然数，则这个三角形的边长分别为（　　）

• A． 2，3，4
• B． 3，4，5
• C． 4，5，6
• D． 不存在

Answer 1

分析 根据三角形满足的两个条件，设出三边长分别为n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，由n-1，n+1，sinα，以及sin2α，利用正弦定理列出关系式，根据二倍角的正弦函数公式化简后，表示出cosα，然后利用余弦定理得到（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n-1）n•cosα，将表示出的cosα代入，整理后得到关于n的方程，求出方程的解得到n的值，从而得到三边长的值，

解答 解：设三角形三边是连续的三个自然n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，
由正弦定理可得：$\frac{n-1}{sinα}=\frac{n+1}{sin2α}$，
∴cosα=$\frac{n+1}{2（n-1）}$，
再由余弦定理可得：（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα=（n+1）²+n²-2（n+1）n•$\frac{n+1}{2（n-1）}$，
化简可得：n²-5n=0，解得：n=5或n=0（舍去），
∴n=5，故三角形的三边长分别为：4，5，6
故选C．

点评 本题主要考察正弦定理在解三角形中的应用问题．解决本题的关键在于根据条件得到：（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα=（n+1）²+n²-2（n+1）n•$\frac{n+1}{2（n-1）}$，化简，得：n²-5n=0，进而求出结论．