Question

某乡镇为了盘活资本，优化组合，决定引进资本拯救出现严重亏损的企业．长年在外经商的王先生为了回报家乡，决定投资线路板厂和机械加工厂．王先生经过预算，如果引进新技术在优化管理的情况下，线路板厂和机械加工厂可能的最大盈利率分别为95%和80%，可能的最大亏损率分别为30%和10%．由于金融危机的影响，王先生决定最多出资100万元引进新技术，要求确保可能的资金亏损不超过18万元．问王先生对线路板厂和机械加工厂各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

Answer 1

【答案】分析：这是一个实际生活中的最优化问题，可根据条件列出线性约束条件和目标函数，画出可行域求解．
解答：解：设王先生分别用x万元、y万元投资线路板厂和机械加工厂两个项目，盈利为z万元．
由题意知
目标函数z=0.95x+0.8y
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域．
作直线l：0.95x+0.8y=0，
并作平行于直线l的一组直线0.95x+0.8y=z，z∈R，
与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，
且与直线0.95x+0.8y=0的距离最大，
这里M点是直线x+y=100和0.3x+0.1y=18的交点．
解方程组
得x=40，y=60
此时z=0.95×40+0.8×60=86（万元）．
所以当x=40，y=60时z取得最大值．
答：王先生用40万元投资线路板厂、60万元机械加工厂，
才能在确保亏损不超过18万元的前提下，使可能的盈利最大为86万元．
点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．