Question

用黄、蓝、白三种颜色粉刷6间办公室
（Ⅰ） 若每间办公室刷什么颜色不要求，有多少种不同的粉刷方法？
（Ⅱ）若一种颜色粉刷3间，一种颜色粉刷2间，一种颜色粉刷1间，有多少种不同的粉刷方法？
（Ⅲ）若每种颜色至少用一次，粉刷这6间办公室，有多少种不同的粉刷方法？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，分析可得每间办公室都有3种选择，由分步计数原理计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，先将办公室分为3组，分别为3间、2间、1间，由组合数公式可得其分组方法，再将3组对应三种颜色，有A₃³种情况，由分步计数原理计算可得答案；
（Ⅲ）先将办公室分为3组，分别为3-2-1，2-2-2，1-1-4三种情况，再计算其分组的方法，将3组对应三种颜色，计算每种分组方法对应的粉刷方法，进而由分类计数原理计算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）根据题意，每间办公室刷什么颜色不要求，则每间办公室都有3种选择，
即共有3×3×3×3×3×3=3⁶=729种情况；
（Ⅱ）根据题意，先将办公室分为3组，分别为3间、2间、1间，有C₆³C₃²C₁¹种分法，
再将3组对应三种颜色，有A₃³种情况，
由分步计数原理可得，共有C₆³C₃²C₁¹A₃³=360种粉刷方法；
（Ⅲ）若每种颜色至少用一次，先将办公室分为3组，让每组用一种颜色，分析可得，有3间、2间、1间，2间、2间、2间，4间、1间、1间，三种分组的方法；
①若分为2间、2间、2间的情况，有

C 2 6 C 2 4 C 2 2

A 3 3

种分法，将3组对应三种颜色，有A₃³种情况，则有

C 2 6 C 2 4 C 2 2

A 3 3

A₃³种粉刷方法，
②若分为3间、2间、1间的情况，有C₆³C₃²C₁¹种分法，将3组对应三种颜色，有A₃³种情况，则有C₆³C₃²C₁¹A₃³种粉刷方法，
③若分为1间、1间、4间的情况，有

C 1 6 C 1 5 C 4 4

A 3 3

种分法，将3组对应三种颜色，有A₃³种情况，则有

C 1 6 C 1 5 C 4 4

A 3 3

A₃³种粉刷方法，
由分类计数原理，可得共有

C 2 6 C 2 4 C 2 2

A 3 3

A

3 3

+

C

3 6

C

2 3

C

1 1

A

3 3

+

C 1 6 C 1 5 C 4 4

A 2 2

A

3 3

=540种方法．

点评：本题考查排列、组合的运用，涉及两个计数原理的应用，注意（3）中分组涉及平均分组与不平均分组，两者的公式不一样．