Question

某广场一雕塑造型结构如图所示，最上层是一呈水平状态的圆环，其半径为2m，通过金属杆BC，CA₁，CA₂，CA₃支撑在地面B处（BC垂直于水平面），A₁，A₂，A₃是圆环上的三等分点，圆环所在的水平面距地面10m，设金属杆CA₁，CA₂，CA₃所在直线与圆环所在水平面所成的角都为θ．（圆环及金属杆均不计粗细）
（1）当θ的正弦值为多少时，金属杆BC，CA₁，CA₂，CA₃的总长最短？
（2）为美观与安全，在圆环上设置A₁，A₂，…，A_n（n≥4）个等分点，并仍按上面方法连接，若还要求金属杆BC，CA₁，CA₂，…，CA_n的总长最短，对比（1）中C点位置，此时C点将会上移还是下移，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据题意设出角度，用设出的角度表示出要求和的最小值的量，表示出金属杆总长，对函数求导，根据导函数的正负确定函数的单调性，求出函数的极值也就是最值．
（II）表示出总长度函数，对函数求导，根据导函数与0的关系，确定函数的单调性，求出函数的极值，即函数的最值，得到C点的变化．

解答：解：（Ⅰ）设O为圆环的圆心，依题意，∠CA₁O=∠CA₂O=∠CA₃O=θ，
CA₁=CA₂=CA₃=

2

cosθ

，CO=2tanθ，
设金属杆总长为ym，则y=

6

cosθ

+10-2tanθ=

2(3-sinθ)

cosθ

+10，
（0＜θ＜

π

2

）y′=

2(3sinθ-1)

cos2θ

，
当sinθ＜

1

3

时，y'＜0；当sinθ＞

1

3

时，y'＞0，
∴当sinθ=

1

3

时，函数有极小值，也是最小值．
（Ⅱ）依题意，y=

2n

cosθ

+10-2tanθ=

2(n-sinθ)

cosθ

+10，y′=

2(nsinθ-1)

cos2θ

，
当sinθ＜

1

n

时，y'＜0；当sinθ＞

1

n

时，y'＞0，
∴当sinθ=

1

n

时，函数有极小值，也是最小值．
当n≥4时，

1

n

＜

1

3

，所以C点应上移．

点评：本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等）解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角．