Question

6．已知函数f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x-1．
（1）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）直接代入计算；（2）利用二倍角公式与和差公式对f（x）进行化简，结合正弦函数的单调性列出不等式解出．

解答 解：（1）f（$\frac{π}{6}$）=2cos²（$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$-1=2×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1=2．
（2）f（x）=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ．解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ．
∴f（x）的单调增区间是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的化简求值与性质．是基础题．