Question

如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A—BCD。

   （1）求证：平面AOC⊥平面BCD；

   （2）若三棱锥A—BCD的体积为，求AC的长。

【解析】本试题主要是考查立体几何中垂直的证明，以及利用线面的垂直的判定定理和性质定理求解三棱锥的体积，得到AC的长度。

 

Answer 1

【答案】

 

（1）证明：因为是正方形，

所以，．…………………………1分

在折叠后的△和△中，

仍有，．…………………………2分

因为，所以平面．………3分

因为平面，

所以平面平面．…………………………4分

（2）解：设三棱锥的高为，

由于三棱锥的体积为，

所以．因为，所以．…5分

以下分两种情形求的长：

①当为钝角时，如图，过点作的垂线交的延长线于点，

由（1）知平面，所以．

又，且，所以平面．

所以为三棱锥的高，即．………………………………………6分

在△中，因为，

所以

．………………7分

在△中，因为，

则．…………………………8分

所以．…………………………9分

②当为锐角时，如图，过点作的垂线交于点，

由（1）知平面，所以．

又，且，所以平面．

所以为三棱锥的高，即．

在△中，因为，

所以

．…………10分

在△中，因为，

则．

所以．…………………11分

综上可知，的长为或．