Question

己知向量a=，b=，函数（a•b）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵=
=．
由，
得，
即，k∈Z．
∴f（x）的定义域是．
∵，则，
∴f（x）的值域是．
（Ⅱ）由题设．
若f（x）为增函数，则为减函数，
∴，
即，
∴f（x）的递增区间是．
若f（x）为减函数，则为增函数，
∴，即，
∴f（x）的递减区间是．
分析：（1）首先要对所给的函数式进行整理，根据两个向量的数量积，得到有关三角函数的式子，变成最简形式，求出函数的定义域和值域，定义域是对于对数的真数的范围要求．
（2）本题是一个复合函数的单调性问题，解题依据是同增异减，因为外层函数是一个减函数，所以内层函数的单调性同整个函数的单调性相反．
点评：这是一种可以作为高考题出现的题目，把向量同三角函数结合起来，以向量为载体，题目中还考到复合函数的单调性，解题时容易出错，这是一道中档题，在高考题目中的地位较高．