在数列
中，
，且
.
(Ⅰ) 求
，猜想
的表达式，并加以证明；
(Ⅱ)设
，求证：对任意的自然数
都有
.
(Ⅰ) 
(Ⅱ) 
所以
所以只需要证明 
（显然成立）
所以对任意的自然数
，都有
【解析】
试题分析：（1）容易求得：
， （1分）
故可以猜想， 下面利用数学归纳法加以证明：
显然当
时，结论成立， 2分）
假设当
；
时（也可以
），结论也成立，即
，
（3分）
那么当
时，由题设与归纳假设可知：
（5分）
即当时，结论也成立，综上，对
,
成立。
（2）
所以
所以只需要证明
（显然成立）
所以对任意的自然数，都有-------（12分）
考点：数列通项公式的证明及数列求和
点评：本题应用数学归纳法证明通项公式，数学归纳法用来证明与正整数有关的命题，第一步先证明n取最小值时成立，第二步假设
时命题成立，借此来证明
时命题成立，综上一二两步可得命题成立
科目：高中数学 来源：2015届海南琼海嘉积中学高一下学期教学监测（二）理数学卷（解析版） 题型：解答题
在数列
中，
，且满足
.
（Ⅰ）求
及数列的通项公式；
（Ⅱ）设
求数列
的前
项和
.
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科目：高中数学 来源：2010-2011学年甘肃省高三上学期第三次月考数学文卷 题型：解答题
（12分）在数列
中，
，且对任意
都有
成立，令
（1）求数列
的通项公式；（2）求数列
的前n项和
。
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科目：高中数学 来源：2010年高考试题（天津卷）解析版（理） 题型：解答题
在数列
中，
，且对任意
.
，
，
成等差数列，其公差为
。
（Ⅰ）若=
，证明，，
成等比数列（）
（Ⅱ）若对任意，，，成等比数列，其公比为
。
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中，
，且当
时有
，则数列
中，
，且对于任意正整数n，都有
，则
＝ 。