Question

已知椭圆C₁:,抛物线C₂:,且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点.

(Ⅰ)当AB⊥轴时,求、的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

(Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C₂的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）m＝0， .此时C₂的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.

（II）满足条件的、存在，且或，．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为： x =1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）. 因为点A在抛物线上.所以，即.此时C₂的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.

（II）： 假设存在、的值使的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为．

由消去得…①

设A、B的坐标分别为（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,  

则x₁,x₂是方程①的两根，x₁＋x₂＝.

　　由　消去y得.         ………………②

因为C₂的焦点在直线上，

所以，即.代入②有.

即.                     　　 …………………③

由于x₁,x₂也是方程③的两根，所以x₁＋x₂＝.

从而＝. 解得　　　……………………④

又AB过C_1，C₂的焦点，所以

，

则   …………………………………⑤

由④、⑤式得，即．

解得于是

因为C₂的焦点在直线上，所以.

　或．

由上知，满足条件的、存在，且或，．

考点：本题主要考查直线方程，椭圆及抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系。

点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题解答过程中，主要运用了抛物线的几何性质。结合抛物线的焦半径公式，建立了k的方程。