Question

已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意给定的，是否存在（）使成等差数列？若存在，用分别表示和（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为．

Answer 1

【解】（1）当时，；

当时，，

    所以；

综上所述，．                             ……………………3分

   （2）当时，若存在p，r使成等差数列，则，

因为，所以，与数列为正数相矛盾，因此，当时不存在； ……5分

    当时，设，则，所以，………………7分

    令，得，此时，，

    所以，，

    所以；

综上所述，当时，不存在p，r；当时，存在满足题设.

……………………10分

（3）作如下构造：，其中，

它们依次为数列中的第项，第项，第项， ……12分

显然它们成等比数列，且，，所以它们能组成三角形．

由的任意性，这样的三角形有无穷多个．             ……………………14分

下面用反证法证明其中任意两个三角形和不相似：

若三角形和相似，且，则，

整理得，所以，这与条件相矛盾，

因此，任意两个三角形不相似．

故命题成立．                                            ……………………16分

    【注】1．第（2）小题当a_k不是质数时，p，r的解不唯一；

2.  第（3）小题构造的依据如下：不妨设，且符合题意，则公比>1，因，又，则，所以，因为三项均为整数，所以为内的既约分数且含平方数因子，经验证，仅含或时不合，所以；

      3．第（3）小题的构造形式不唯一．