Question

（2012•浦东新区三模）已知集合A={a₁，a₂…a_n}（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n∈N^*，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a_i+a_j与a_j-a_i至少一个属于A，
（1）分别判断集合M={0，2，4}与N=（1，2，3）是否具有性质P，并说明理由；
（2）①求证：0∈A；②当n=3时，集合A中元素a₁、a₂、a₃是否一定成等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由；
（3）对于集合A中元素a₁、a₂、…a_n，若a_n=2012，求数列{a_n}的前n项和S_n（用n表示）．

Answer 1

分析：（1）根据题意分别把集合M和N中的元素代入：a_i+a_j与a_j-a_i进行验证，可判断是否具有性质P；
（2）①根据a₁、a₂、…a_n的大小关系和性质P，可得a_n+a_n=2a_n＞a_n，则a_n-a_n=0=a₁∈A，
②由a₁、a₂、a₃的大小关系和由性质P判断出：a₁=a₃-a₃=0∈A，a₃-a₂=a₂，即得2a₂=a₁+a₃，故结论得证；
（3）由a₁、a₂、…a_n的关系和性质P，可求出元素a₁、a₂、…a_n的表达式，再代入所求的前n项和S_n进行化简得

n

2

an，代入a_n=2012求出S_n．

解答：解：（1）由题意得，
对于集合M：得2-0=2，4-2=2，4-0=4，0-0=2-2=4-4=0，
∵2，4，0∈M，∴集合具有性质P．
对于集合N：得2+2=4，2-2=0，
∵4，0∉N，∴集合N不具性质P，
（2）证明：①∵0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n∈N^*，n≥3，
∴a_n+a_n=2a_n＞a_n，则a_n-a_n=0=a₁∈A，
②当n=3时，集合A中元素a₁，a₂，a₃一定成等差数列．
证明：当n=3时，0≤a₁＜a₂＜a₃，
∴0≤a₃-a₃＜a₃-a₂＜a₃-a₁，
且a₃+a₃＞a₃，∴a₃+a₃∉A，∴a₃-a₃=0∈A，∴a₁=0∈A，
则a₃+a₂＞a₃，∴a₃+a₂∉A，∴a₃-a₂∈A，
∴a₃-a₂=a₂，即a₃=2a₂，又∵a₁=0，∴2a₂=a₁+a₃，
故a₁，a₂，a₃成等差数列，
（3）由题意得，0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，∴0≤a_n-a_n＜a_n-a_n-1＜…＜a_n-a₁，
∴a_n+a_n-i＞a_n（i=1，2，…n-1），∴a_n-a_n-i∈A，
∴a₁=a_n-a_n，a₂=a_n-a_n-1，a₃=a_n-a_n-2，…a_n=a_n-a₁，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=na_n-（a₁+a₂+…+a_n），即S_n=na_n-S_n，
则S_n=

n

2

an=

n

2

×2012=606n．

点评：本题考查了等差数列的证明，数列求和等综合问题，以及新定义的灵活应用能力，难度较大．