Question

已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（-a，0），
(ⅰ)若，求直线l的倾斜角；
(ⅱ)若点Q(0，y₀)在线段AB的垂直平分线上，且，求y₀的值。

Answer 1

解：(Ⅰ)由，得3a²=4c²，再由c²=a²-b²，解得a=2b，
由题意可知，即ab=2，
解方程组，得a=2，b=1，
所以椭圆的方程为。
(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)可知点A的坐标是（-2，0），
设点B的坐标为(x₁，y₁)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2)，
于是A，B两点的坐标满足方程组，
消去y并整理，得(1+4k²)x²+16k²x+(16k²-4)=0，
由，得，从而，
所以，
由，得，
整理得32k⁴-9k²-23=0，
即(k²-1)(32k²+23)=0，
解得k=±1，
所以直线l的倾斜角为或。
(ⅱ)设线段AB的中点为M，由(ⅰ)得M的坐标为，
以下分两种情况：
(1)当k=0时，点B的坐标是(2，0)，线段AB的垂直平分线为y轴，
于是，
由4，得；
(2)当k≠0时；线段AB的垂直平分线方程为，
令x=0，解得，
由，
整理得，
，
故，故，
所以；
综上，或。