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定义在R上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)+2xy,f(xy)=f(x)f(y)(x,y∈R),且当x≠0时,f(x)≠0.

(1)求证:f(0)=0

(2)证明:f(x)是偶函数.并求f(x)的表达式

(3)若f(x)=alnx有两个不同实数解,求a的取值范围.

答案:
解析:

  解:(1)由f(xy)=f(x)+f(y)+2xy,令x=y=0时,f(0)=f(0)+f(0)+0,得f(0)=0(2分)

  (2)由f(xy)=f(x)f(y),令x=2,y=1,得f(2)=f(2)f(1),∵x≠0时,f(x)≠0,∴f(1)=1.(3分)

  由f(xy)=f(x)+f(y)+2xy,令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)-2,由(1)及f(1)=1得:f(-1)=f(1)=1;-(4分)

  又由f(xy)=f(x)f(y),令y=-1得f(-x)=f(x)f(-1)=f(x)(5分)

  即f(x)是R上的偶函数(6分)

  又由f(xy)=f(x)+f(y)+2xy,令x=-y,得f(0)=f(x)+f(-x)-2x2,(7分)

  ∴f(x)=x2. 8分

  (3)令h(x)=x2-alnx,依题意函数h(x)有两个不同的零点,(9分)

  因为h(x)的定义域为(0,+∞),且,(10分)

  (1)若a≤0,,h(x)是增函数,不合,舍去.

  (2)若a>0,由解得(舍去),即当时h(x)为单调递减的函数,当时h(x)为单调递增的函数,(11分)

  ∴h(x)的最小值为,(12分)

  又∵当a>0,x<1时h(x)>0,令g(x)=x-lnx,由,可知,当x>1时,g(x)是增函数,因g(1)=1>0,故当x>1时x>lnx,即当x>1,a>0时h(x)=x2-alnx>x2-ax,故当x>a时,h(x)>0,故当时h(x)有两个零点,解得a>2e,所以a>2e为所求.(14分)


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)图象所有对称中心都在f(x)图象的对称轴上.
(1)求f(x)的表达式;    
(2)若f(
x0
2
)=
3
2
(x0∈[-
π
2
π
2
]),求cos(x0-
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)的值.

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