Question

【题目】在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（12分）
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，

可设A（x1，0），B（x2，0），

由韦达定理可得x1x2=﹣2，

若AC⊥BC，则kACkBC=﹣1，

即有 =﹣1，

即为x1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾，

故不出现AC⊥BC的情况；

（2）

证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），

由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价，

可得D=m，F=﹣2，

圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0，

由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1，

则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0，

再令x=0，可得y2+y﹣2=0，

解得y=1或﹣2．

即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），

则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．

【解析】（1.）设曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况；
（2.）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值．
【考点精析】本题主要考查了两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系和圆的一般方程的相关知识点，需要掌握两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直；圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项；(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了；(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显才能正确解答此题．