Question

从数列{a_n}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称为数列{a_n}的一个子数列，设数列{a_n}是一个首项为a₁，公差为d（d≠0）的无穷等差数列．
（1）若a₁，a₂，a₅为公比为q的等比数列，求公比q的值；
（2）若a₁=1，d=2，请写出一个数列{a_n}的无穷等比子数列{b_n}；
（3）若a₁=7d，{c_n}是数列{a_n}的一个无穷子数列，当c₁=a₂，c₂=a₆时，试判断{c_n}能否是{a_n}的无穷等比子数列，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设知（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），由此可求出其公比q=

a2

a1

=3；
（2）取b₁=3，b₂=9，则数列{a_n}的无穷等比子数列{b_n}可以为b_n=3ⁿ
（3）设等比数列的公比q=

a6

a2

=

3

2

，bm=a2qm-1=8d•(

3

2

)m-1，由题设a_n=a₁+（n-1）d=（n+6）d．再由反证法能够推出该数列不为{a_n}的无穷等比子数列．

解答：解：（1）由题设，得a₂²=a₁a₅，即（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），得d²=2a₁d，又d≠0，
于是d=2a₁，故其公比 q=

a2

a1

=3；
（2）取b₁=3，b₂=9，则数列{a_n}的无穷等比子数列{b_n}可以为b_n=3ⁿ满足题意；
（3）设等比数列的公比q=

a6

a2

=

3

2

，bm=a2qm-1=8d•(

3

2

)m-1，由题设a_n=a₁+（n-1）d=（n+6）d
假设数列{b_m}为{a_n}的无穷等比子数列，
则对任意自然数m（m≥3），都存在n∈N^*，使a_n=b_m，
即 (n+6)d=8d•(

3

2

)m-1，
得n=8(

3

2

)m-1-6，
当m=5时，n=8(

3

2

)5-1-6=

69

2

∉N*与假设矛盾，
故该数列不为{a_n}的无穷等比子数列．

点评：本题的考点是等比数列，主要考查数列的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．