Question

12．定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足：①对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）；②当x∈（1，2]时．f（x）=（2-x）³．若方程f（x）-k（x-1）=0恰有两个不同实根，则实数k的取值范围是（　　）

• A． [1，2）
• B． [$\frac{4}{3}$，2]
• C． （$\frac{4}{3}$，2）
• D． [$\frac{4}{3}$，2）

Answer 1

分析 根据题中的条件分别求出函数f（x）在（1，8]上对应的解析式和图象，再结合函数的图象根据题意求出参数k的范围即可．

解答 解：∵对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）；
∴f（x）=2f（$\frac{x}{2}$），
若x∈（2，4]，则$\frac{x}{2}$∈（1，2]，
此时f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2（2-$\frac{x}{2}$）³=$\frac{1}{4}$（4-x）³，
若x∈（4，8]，则$\frac{x}{2}$∈（2，4]，
此时f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2×$\frac{1}{4}$（4-$\frac{x}{2}$）³=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{x}{2}$）³，
作出函数f（x）在（1，8]上的图象如图：B（2，2），C（4，4）．
又k_AB=$\frac{2-0}{2-1}$=2，k_AC=$\frac{4-0}{4-1}$=$\frac{4}{3}$．
由题意得f（x）=k（x-1）的函数图象是过定点A（1，0）的直线，
如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）
分析图象知，当$\frac{4}{3}≤k＜2$时f（x）=k（x-1）有两个不同的解．
故选：D．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学数学，是解决数学问题的必备的解题工具．