Question

设F₁、F₂是双曲线x2-

y2

4

=1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(

OP

+

OF2

)  •

F2P

=0（O为坐标原点）且|PF₁|=λ|PF₂|，则λ的值为（　　）

• A、2
• B、

  1

  2

• C、3
• D、

  1

  3

Answer 1

分析：设点P（

1+ m2 4

，m），由 (

OP

+

OF2

)  •

F2P

=0解出 m，根据双曲线的第二定义得e=

5

=

|PF2|

1+ m2 4 - 1 5

，求出|PF₂|的值，再利用第一定义求出|PF₁|的值，即得λ值．

解答：解：由题意得   a=1，b=2，∴c=

5

，F₁（-

5

，0），F₂ （

5

，0），e=

5

．
设点P（

1+ m2 4

，m），∵(

OP

+

OF2

)  •

F2P

=（

1+ m2 4

+

5

，m）•（

1+ m2 4

-

5

，m）
=1+

m2

4

-5+m²=0，m²=

16

5

，m=±

4 5

5

．
由双曲线的第二定义得 e=

5

=

|PF2|

1+ m2 4 - 1 5

，∴|PF₂|=2，
∴|PF₁|=2a+|PF₂|=4，∴λ=

|PF1|

|PF2|

=

4

2

=2，
故选A．

点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．