Question

6．（1）设f（θ）=sinθ+cosθ，0≤θ≤$\frac{π}{2}$，求f（θ）的值域．
（2）已知不等式$\sqrt{2}（2a+3）cos（θ-\frac{π}{4}）+\frac{6}{sinθ+cosθ}$＜3a+6+4sinθcosθ对于0≤θ≤$\frac{π}{2}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（θ）=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），由0≤θ≤$\frac{π}{2}$和三角函数的值域可得；
（2）令sinθ+cosθ=x，换元可化原不等式为x+$\frac{2}{x}$-a＜0对于1≤x≤$\sqrt{2}$恒成立，只需a＞x+$\frac{2}{x}$对于1≤x≤$\sqrt{2}$恒成立，由“对勾函数”的单调性可得．

解答 解：（1）化简可得f（θ）=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∵0≤θ≤$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}$≤θ+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴1≤$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，∴f（θ）的值域为[1，$\sqrt{2}$]；
（2）令sinθ+cosθ=x，则cos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
平方可得1+2sinθcosθ=x²，解得sinθcosθ=$\frac{1}{2}$（x²-1），
故原不等式（2a+3）x+$\frac{6}{x}$＜3a+6+2（x²-1），
整理可得2x²-2ax-3x-$\frac{6}{x}$+3a+4＞0，即2x（x+$\frac{2}{x}$-a）-3（x+$\frac{2}{x}$-a）＞0，
即（2x-3）（x+$\frac{2}{x}$-a）＞0对于1≤x≤$\sqrt{2}$恒成立，
∵1≤x≤$\sqrt{2}$，∴2x-3＜0，∴不等式等价于x+$\frac{2}{x}$-a＜0对于1≤x≤$\sqrt{2}$恒成立，
只需a＞x+$\frac{2}{x}$对于1≤x≤$\sqrt{2}$恒成立，
由“对勾函数”可知x+$\frac{2}{x}$在1≤x≤$\sqrt{2}$单调递减，
∴当x=1时，函数x+$\frac{2}{x}$取最大值3，
∴实数a的取值范围为a＞3

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及换元法和恒成立问题，属中档题．