Question

（1）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆O₁和圆O₂的极坐标方程分别为ρ=2，ρ²-2

2

ρcos（θ-

π

4

）=2．
（Ⅰ）把圆O₁和圆O₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
（2）选修4-5：不等式选讲，设x+2y+3z=3，求4x²+5y²+6z²的最小值．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）由圆O₁极坐标方程为ρ=2，圆O₂的极坐标方程为ρ²-2

2

ρcos（θ-

π

4

）=2，能求出圆O₁和圆O₂的极坐标方程化为直角坐标方程．
（Ⅱ）由圆O₁的直角坐标方程为x²+y²=4，圆O₂的直角坐标方程为x²+y²-2x-2y-2=0，知经过两圆交点的直线的直角坐标方程为x+y-1=0．由此能求出经过两圆交点的直线的极坐标方程．
（2）将待求式中的各项变这完全平方数的形式，利用柯西不等式建立关于待求式的不等式后求最值，应该注意构造出x+2y+3z．

解答：解：（1）（Ⅰ）∵圆O₁极坐标方程为ρ=2，
∴ρ²=4，
∴圆O₁的直角坐标方程为x²+y²=4．
∵圆O₂的极坐标方程为ρ²-2

2

ρcos（θ-

π

4

）=2，
∴ρ²-2

2

ρ（cosθcos

π

4

+sinθsin

π

4

）=2，
即ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ=2，
∴圆O₂的直角坐标方程为x²+y²-2x-2y-2=0．
（Ⅱ）∵圆O₁的直角坐标方程为x²+y²=4，
圆O₂的直角坐标方程为x²+y²-2x-2y-2=0，
∴经过两圆交点的直线的直角坐标方程为：
x+y-1=0．
∴经过两圆交点的直线的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-1=0．
（2）∵4x²+5y²+6z²=（2x）²+（

5

y）²+（

6

z）²，
∴由柯西不等式，知
[（2x）²+（

5

y）²+（

6

z）²]•[（

1

2

）²+（

2

5

）²+（

3

6

）²]
≥（2x•

1

2

+

5

y•

2

5

+

6

z•

3

6

）²
=（x+2y+3z）²=9．
即（4x²+5y²+6z²）（

1

4

+

4

5

+

3

2

）≥9，
∴4x²+5y²+6z²≥

20

51

×9=

60

17

．
当且仅当

x+2y+3z=3 2x 1 2 = 5 y 2 5 = 6 z 3 6

，
即x=

5

17

，y=

8

17

，z=

10

17

时，等号成立，
∴4x²+5y²+6z²的最小值为

60

17

．

点评：第（1）考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，第（2）题考查柯西不等式的应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．