Question

18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且$\sqrt{3}a=2csinA$．
（1）确定角C的大小；
（2）若$c=\sqrt{7}$，且△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知可求$\sqrt{3}sinA=2sinCsinA$，结合范围$0＜A＜\frac{π}{2}$，求得$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，结合范围$0＜C＜\frac{π}{2}$，即可得解C的值．
（2）由已知及三角形面积公式可求ab=6，进而利用余弦定理可求a+b=5，即可得解△ABC的周长．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）∵$\sqrt{3}a=2csinA$，由正弦定理得$\sqrt{3}sinA=2sinCsinA$，
又$0＜A＜\frac{π}{2}$，sinA＞0，
∴$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又$0＜C＜\frac{π}{2}$，
∴$C=\frac{π}{3}$．…（5分）
（2）由已知得$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}ab×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴ab=6…（7分）
在△ABC中，由余弦定理得${a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}=7$，…（8分）
即a²+b²-ab=7，（a+b）²-3ab=7，
又∵ab=6，
∴a+b=5，…（9分）
故△ABC的周长为$a+b+c=5+\sqrt{7}$．…（10分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．