Question

（2012•奉贤区一模）正数列{a_n}的前n项和S_n满足：rS_n=a_na_n+1-1，a₁=a＞0，常数r∈N．
（1）求证：a_n+2-a_n是一个定值；
（2）若数列{a_n}是一个周期数列，求该数列的周期；
（3）若数列{a_n}是一个有理数等差数列，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由rS_n=a_na_n+1-1，利用迭代法得：ra_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），由此能够证明a_n+2-a_n为定值．
（2）当n=1时，ra=aa₂-1，故a2=

1+ar

a

=r+

1

a

，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．
（3）因为数列{a_n}是一个有理等差数列，所以a+a+r=2(r+

1

a

)，化简2a²-ar-2=0，a=

r+ 16+r2

4

是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S_n．

解答：证明：（1）∵rS_n=a_na_n+1-1，①
∴rS_n+1=a_n+1a_n+2-1，②
②-①，得：ra_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），
∵a_n＞0，∴a_n+2-a_n=r．…（4分）
（2）当n=1时，ra=aa₂-1，
∴a2=

1+ar

a

=r+

1

a

，
根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+

1

a

，a+r，2r+

1

a

，a+2r，3r+

1

a

，…
当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，
所以r=0时，数列写出数列的前几项：a，

1

a

，a，

1

a

，a，

1

a

，a，

1

a

，…
所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，
当a=1时，该数列的周期是1．
（3）因为数列{a_n}是一个有理等差数列，
所以a+a+r=2(r+

1

a

)
化简2a²-ar-2=0，a=

r+ 16+r2

4

是有理数．
设

r2+16

，是一个完全平方数，
设为r²+16=k²，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a_n=1，S_n=n．
r≠0时（k-r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，
其中只有

r=3 k=5

，符合要求，
此时a=2，an=

3n+1

2

Sn=

n(3n+5)

4

，
或者r=2(a-

1

a

)，
等差数列的前几项：a，2a-

1

a

，3a-

2

a

，4a-

3

a

，…，an=na-

n-1

a

，
因为数列{a_n}是一个有理等差数列r=2(a-

1

a

)是一个自然数，a=1，r=0，a_n=1，S_n=n，
此时a=2，r=2，an=

3n+1

2

，Sn=

n(3n+5)

4

．

点评：本题考查数列知识的综合应用，是对数列知识的综合考查，属于数列中的难题．一般数列出大题，要么是非常容易，在第一第二大题；要么就是很难的题目．