Question

【题目】已知函数f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）
（1）当a= 时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=（x2﹣2x）ex ， 如果对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ax﹣（2a+1）+ ，

所以a= 时，f′（x）= ，

其单调递增区间为（0， ），（2，+∞），单调递减区间为（

（2）解：若要命题成立，只需当x∈（0，2]时，f（x）max＜g（x）max．

由g′（x）=（x2﹣2）ex可知，当x∈（0，2]时，g（x）在区间（0， ）上单调递减，在区间（ ，2]上单调递增，

g（0）=g（2）=0，故g（x）max=0，

所以只需f（x）max＜0．

对函数f（x）来说，f′（x）=ax﹣（2a+1）+ =

当a≤0时，由x∈（0，2]，f′（x）≥0，函数f（x）在区间（0，2]上单调递增，

f（x）max=f（2）=2ln2﹣2a﹣2＜0，故ln2﹣1＜a≤0

当0＜a≤2时， ，由x∈（0，2），ax﹣1≥0，故f′（x）≥0，

函数f（x）在区间（0，2）上单调递增，

f（x）max=f（2）=2ln2﹣2a﹣2＜0，a＞ln2﹣1

故0＜a≤2满足题意

当a＞ 时， ，函数f（x）在区间（0， ）上单调递增，在区间（ 上单调递减，

f（x）max=f（ =﹣2lna﹣ ﹣2．

若a≥1时，显然小于0，满足题意；

若 时，可令h（a）=﹣2lna﹣ ﹣2， ，

可知该函数在 时单调递减，

，满足题意，所以a＞ 满足题意．

综上所述：实数a的取值范围是（ln2﹣1，+∞）

【解析】（1）利用导数直接求单调区间；（2）若要命题成立，只需当x∈（0，2]时，f（x）max＜g（x）max ． 分别求出最大值即可．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．