Question

已知圆C的方程是：x²+y²=4，P是圆C上任意一点，过点P作PD⊥x轴于点D，M为PD的中点．
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）若直线l与轨迹E交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，已知，若．试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设M（x，y），则P（x，2y），代入圆C的方程是：x²+y²=4，可得：x²+4y²=4
即点M的轨迹方程为…（5分）
（2）①当直线l的斜率不存在时，x₁=x₂，y₁=-y₂，则由可得x₁x₂+4y₁y₂=0
即，而，由上两式可解得，，
此时为定值；…（8分）
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m
由消去y，并整理得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
则△=64k²m²-4（4k²+1）（4m²-4）=16（1+4k²-m²），
，（Ⅰ）…（10分）
由可得x₁x₂+4y₁y₂=0，即x₁x₂+4（kx₁+m）（kx₂+m）=0
所以，
将（Ⅰ）代入得：，化简可得：1+4k²=2m²
由弦长公式可得
由点到直线的距离公式可得原点O到直线AB的距离为
所以△AOB的面积为定值
综上知，△AOB的面积总为定值1．…（13分）
分析：（1）确定M，P坐标之间的关系，利用相关点法可求点M的轨迹方程；
（2）分斜率存在与不存在，同时借助于韦达定理，利用向量垂直，分别表示三角形的面积，即可求得结论．
点评：本题考查轨迹方程，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．