Question

【题目】如图1，在梯形中，，，，，是的中点，是与的交点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且，如图2.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

(1)根据正方形的性质可得，由勾股定理可得.可得平面，由面面垂直的判定定理即可证明平面平面；(2)由（1）知互相垂直，以为轴建立空间坐标系，为平面的法向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可求得二面角的余弦值.

（1）在图1中，因为，，，

是的中点，，

所以四边形为正方形，

所以，

即在图2中，，，.

又因为，所以在中，，

所以.

所以平面，

又因为平面，所以平面平面.

（2）由（1）知互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

因为，

所以，

所以，

设平面的法向量为，

则得，

令，则，，即，

由（1）平面平面，且，

所以平面，即为平面的法向量，

所以，

所以二面角的余弦值为.

（2）（几何法）取的中点，连接.

因为，，

所以，，

所以就是二面角的平面角.

又，，，

所以，

所以，

所以，

所以二面角的余弦值为.