Question

数列{a_n}是公差为正数的等差数列，a₁=f（x-1），a₂=0，a₃=f（x+1），其中f（x）=x²-4x+2，则数列{a_n}的通项公式a_n=

2n-4

．

Answer 1

分析：分别求出求出f（x-1）和f（x+1）得到a₁和a₃，然后利用等差中项的概念列式求得x的值，根据数列{a_n}是公差为正数的等差数列对首项及公差进行取舍，从而求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：因为f（x）=x²-4x+2，
所以a₁=f（x-1）=（x-1）²-4（x-1）+2=x²-6x+7，
a₃=f（x+1）=（x+1）²-4（x+1）+2=x²-2x-1，
由数列{a_n}是公差为正数的等差数列，
所以a1+a3=(x2-6x+7)+(x2-2x-1)
=2x²-8x+6=0．
解得：x=1或x=3．
当x=1时，a3=12-2×1-1=-2＜0=a₂，与题意不符舍去．
当x=3时，a1=32-6×3+7=-2＜0=a2．
所以数列{a_n}是以-2为首项，以2为公差的等差数列．
所以a_n=a₁+（n-1）d=-2+2（n-1）=2n-4．
故答案为2n-4．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差中项的概念，训练了一元二次方程的解法，正确解答此题的关键是对x的取值加以验证，是基础题．