Question

抛物线y²=2px（p＞0）的准线交x轴于点C，焦点为F．A、B是抛物线上的两点．己知A．B，C三点共线，且|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，直线AB的斜率为k，则有

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：根据抛物线方程求出点C（-，0），可得直线AB方程为y=k（x-），将其与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，由根与系数的关系得到x₁+x₂和x₁x₂关于p、k的式子，结合两点间的距离公式算出|AB|=•．再利用抛物线的定义，得到|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=+p，而|AF|、|AB|、|BF|成等差数列得出|AF|+|BF|=2|AB|，从而建立关于p、k的等式，化简整理得•=，即可解出，得到本题答案．
解答：∵抛物线y²=2px的准线方程为x=-，
∴准线与x轴的交点C坐标为（-，0）
因此，得到直线AB方程为y=k（x-），与抛物线y²=2px消去y，
化简整理，得，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数的关系得
∴|AB|==•
=•=•
∵|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，
∴|AF|+|BF|=2|AB|，
根据抛物线的定义得|AF|=x₁+，|BF|=x₂+，
因此，得到x₁+x₂+p=2•，即+p=2•，
化简得=，约去得•=
∴（1+k²）（1-k²）=，解之得k²=
故选：D
点评：本题给出抛物线准线交对称轴于点C，过点C的直线交抛物线于A、B两点，A、B与焦点F构成的三角形的三边成等差数列，求直线AB的斜率．着重考查了抛物线的定义与简单几何性质，直线与抛物线位置关系等知识点，属于中档题．