Question

(2007湖北，21)已知m，n为正整数．

(1)用数学归纳法证明：当x＞－1时，；

(2)对于n≥6，已知，求证，m=1，2，…，n；

(3)求出满足等式的所有正整数n．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)用数学归纳法证明： ①当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边，右边=1＋2x，因为，所以左边≥右边，原不等式成立； ②假设当m=k时，不等式成立，即， 则当m=k＋1时，∵x＞－1，∴1＋x＞0． 于是在不等式两边同乘以1＋x 得， 所以，即当m=k＋1时，不等式也成立． 综合①②知，对一切正整数m，不等式都成立． (2)当n≥6，mn时，由(1)得， 于是，m=1，2，…，n． (3)由(2)知，当n6时， ∴， 即．即当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n． 故只需要计论n=1，2，3，4，5的情形： 当n=1时，3≠4，等式不成立； 当n=2时，，等式成立； 当n=3时，，等式成立； 当n=4时，为偶数，而为奇数， 故，等式不成立； 当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立． 综上，所求的n只有n=2，3．