Question

已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上．

（1）求抛物线和椭圆的标准方程；

（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，求的值；

（3）直线交椭圆于两不同点，在轴的射影分别为，，若点满足，证明：点在椭圆上．

 

Answer 1

【答案】

（1）抛物线，．（2）-1.（3）求出点S的坐标，然后代入椭圆方程即可证明

【解析】

试题分析：（1）由抛物线的焦点在圆上得：，，∴抛物线                 2分

同理由椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上可解得：．得椭圆．                         4分

（2）设直线的方程为，则．

联立方程组，消去得：

且                5分

由得：

整理得：

．      8分

（3）设，则

由得；① ；②

；③                        11分

由①+②+③得

∴满足椭圆的方程，命题得证．      13分

考点：本题考查了抛物线、椭圆的综合运用

点评：解答圆锥曲线问题时，应根据其几何特征熟练的转化为数量关系（如方程、函数），再结合代数方法解答，这就要学生在解决问题时要充分利用数形结合、设而不求、弦长公式及韦达定理综合思考，重视对称思想、函数与方程思想、等价转化思想的应用。