Question

已知向量

a

，

b

满足

a

=（2sinx，

3

（cosx+sinx）），

b

=（cosx，cosx-sinx），函数f（x）=

a

•

b

（x∈R）．
（1）将f（x）化成Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）的形式；
（2）求f（x）的单调递增区间
（3）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）根据数量积求出f（x）式子，运用三角变换化简可得f（x）=2sin（2x+

π

3

）
（2）-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈z可得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈z
（3）整体求出

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，-

3≤

2sin（2x+

π

3

）≤2，可得值域

解答： 解：（1）∵向量

a

，

b

满足

a

=（2sinx，

3

（cosx+sinx）），

b

=（cosx，cosx-sinx），
函数f（x）=

a

•

b

（x∈R）．
∴f（x）=2sinxcosx+

3

（cos²x-sin²x）=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
（2）f（x）=2sin（2x+

π

3

），
∵-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈z
∴-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈z
∴f（x）的单调递增区间[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z
（3）∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
即-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
-

3≤

2sin（2x+

π

3

）≤2，
可得：当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的值域为[-

3

，2]．

点评：本题综合考察了向量在三角函数中的运用，求解三角函数的单调区间、值域问题，综合性大一点，但是难度不大，属于中档题．