Question

11．f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），由周期公式可得；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，由余弦函数的最值可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得：
f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x
=cos⁴x-sin⁴x-2sinxcosx
=（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）-2sinxcosx
=cos²x-sin²x-2sinxcosx
=cos2x-sin2x=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$即x=0时，函数取最大值$\sqrt{2}$，
当2x+$\frac{π}{4}$=π即x=$\frac{3π}{8}$时，函数取最小值-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．