Question

抛物线有光学性质: 由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y²=2px(p＞0)  一光源在点M(,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l: 2x－4y－17=0上的点N，再折射后又射回点M(如下图所示)

 (1)设P、Q两点坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂)，证明：y₁·y₂=－p²；

(2)求抛物线的方程；

(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)证明略， (2) y²=4x (3) 抛物线上存在一点(，－1)与点M关于直线PN对称.

解析:

由抛物线的光学性质及题意知

光线PQ必过抛物线的焦点F(，0)，

设直线PQ的方程为y=k(x－)                           ①

由①式得x=y+,将其代入抛物线方程y²=2px中，整理，得y²－y－p²=0,由韦达定理，y₁y₂=－p²。

当直线PQ的斜率角为90°时，将x=代入抛物线方程，得y=±p,同样得到y₁·y₂=－p².

(2)解:因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设点M(，4)关于l的对称点为M′(x′,y′)，则

解得

直线QN的方程为y=－1,Q点的纵坐标y₂=－1，

由题设P点的纵坐标y₁=4，且由(1)知:y₁·y₂=－p²,则4·(－1)=－p²,

得p=2,故所求抛物线方程为y²=4x。 

(3)解: 将y=4代入y²=4x,得x=4，故P点坐标为(4，4)

将y=－1代入直线l的方程为2x－4y－17=0,得x=,

故N点坐标为(，－1)

由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y－12=0,

设M点关于直线NP的对称点M₁(x₁,y₁)

又M₁(,－1)的坐标是抛物线方程y²=4x的解，故抛物线上存在一点(，－1)与点M关于直线PN对称.