Question

某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．

（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；
（2）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并获得一等奖．如果前三道题都答错，就不再答第四题．某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．
①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；
②记该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

解：（1）根据样本容量，频率和频数之间的关系得到①0.16×50=8②=0.44
③50-8-22-14=6④=0.12
（2）由（1）得，p=0.4，
①该同学恰好答满4道题而获得一等奖，即前3道题中刚好答对1道，
第4道也能够答对才获得一等奖，
则有C₃¹×0.4×0.6²×0.4=0.1728．
②答对2道题就终止答题，并获得一等奖，
∴该同学答题个数为2、3、4．
即X=2、3、4，
P（X=2）=0.4²=0.16，
P（X=3）=C₂¹0.4×0.6×0.4+0.6³=0.408，
P（X=4）=C₃¹0.4×0.6²=0.432，
∴分布列为：

∴EX=2×0.16+3×0.408+4×0.432=3.272．
分析：（1）根据样本容量，频率和频数之间的关系得到要求的几个数据，注意第三个数据是用样本容量减去其他三个数得到．
（2）①该同学恰好答满4道题而获得一等奖，即前3道题中刚好答对1道，第4道也能够答对才获得一等奖，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
②答对2道题就终止答题，并获得一等奖，所以该同学答题个数为2、3、4．即X=2、3、4，结合变量对应的概率，写出分布列和期望．
点评：本小题考查频率、频数和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的随机变量的分布列及数学期望，是一个综合题．