Question

根据下列条件，求圆的方程.

(1)圆心在直线5x-3y=8上，又圆与坐标轴相切，求此圆方程.

(2)已知圆心C(2，-1)，且截直线y=x-1所得的弦长为，求圆C的方程.

Answer 1

【探究】 对于(1)、(2)可用标准方程与待定系数法解答；对于(3)，由于已知圆心，故只需求出半径，根据垂径定理：弦长的一半与弦心距、半径组成一个直角三角形，故半径可求.

解：(1)设所求圆方程为(x-x₀)²+(y-y₀)²=r².

∵圆与坐标轴相切，故圆心满足x₀-y₀=0或x₀+y₀=0.

又圆心在直线5x-3y=8,∴5x₀-3y₀=8.

解方程组或解得或

∴圆心坐标为(4，4)或(1，-1).

∴可得半径r=|x₀|=4或r=|x₀|=1.

∴所求圆方程为(x-4)²+(y-4)²=4²或(x-1)²+(y+1)²=1.

(2)由已知可设所求圆的半径为r，圆心到直线y=x-1的距离为d，则.

∵直线y=x-1被圆截得的弦长为，

∴由垂径定理，得,∴r²=4.

∴所求圆的方程为(x-2)²+(y+1)²=4.

【规律总结】 ①本例的两个小题都是求圆的方程的中等难度题.由于所给条件都与圆心、半径有关，故都利用了圆的标准方程.此外，平面几何性质的应用使得解法简便了许多.②与本例相似的题目较多，其解题思路都是从确定圆心与半径入手，充分利用平面几何性质，如，设圆上的点A(2，3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且在直线x-y+1=0上截得的弦长为，求圆的方程.