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(本小题满分13分)

已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x2y2-10x+20=0相切.过点P(-4,0)作斜率为的直线l,使得lG交于AB两点,和y轴交于点C,并且点P在线段AB上,又满足|PA|·|PB|=|PC|2.

 (1)求双曲线G的渐近线的方程;

(2)求双曲线G的方程;

(3)椭圆S的中心在原点,它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分,求椭圆S的方程.

 

【答案】

解:(1)设双曲线G的渐近线的方程为ykx

则由渐近线与圆x2y2-10x+20=0相切可得=,

所以k=±,即双曲线G的渐近线的方程为y=±x.(3分)

(2)由(1)可设双曲线G的方程为x2-4y2m

把直线l的方程y=(x+4)代入双曲线方程,

整理得3x2-8x-16-4m=0,

xAxB=,xAxB=-.(*)

∵|PA|·|PB|=|PC|2PABC共线且P在线段AB上,

∴(xPxA)(xBxP)=(xPxC)2,即(xB+4)(-4-xA)=16,

整理得4(xAxB)+xAxB+32=0.

将(*)代入上式得m=28,

∴双曲线的方程为-=1.(8分)

(3)由题可设椭圆S的方程为+=1(a>2),

设垂直于l的平行弦的两端点分别为M(x1y1),N(x2y2),MN的中点为P(x0y0),

则+=1,+=1,

两式作差得+=0.

由于=-4,x1x2=2x0y1y2=2y0

所以-=0,

所以,垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线-=0截在椭圆S内的部分.

又由已知,这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分,所以=,即a2=56,

故椭圆S的方程为+=1.(13分)

 

【解析】略

 

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