Question

16．如果函数y=y（x）由方程${∫}_{0}^{y}$e^tdt-${∫}_{0}^{x}$costdt=0所确定，则$\frac{dy}{dx}$=$\frac{cosx}{1+sinx}$．

Answer 1

分析 求定积分由指数和对数的运算可得y=ln（1+sinx），求导数可得$\frac{dy}{dx}$

解答 解：∵${∫}_{0}^{y}$e^tdt-${∫}_{0}^{x}$costdt=0，
∴e^t${|}_{0}^{y}$-sint${|}_{0}^{x}$=0，即（e^y-e⁰）-（sinx-sin0）=0，
即e^y=1+sinx，∴y=ln（1+sinx），
求导数可得$\frac{dy}{dx}$=$\frac{1}{1+sinx}$•cosx=$\frac{cosx}{1+sinx}$
故答案为：$\frac{cosx}{1+sinx}$

点评 本题考查定积分的运算，涉及导数和对数的运算，属基础题．