Question

一半径为2m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3s转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P₀）开始计算时间．
（1）试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度h（m）表示为时间t（s）的函数；
（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？
（3）记f（t）=h，求证：不论t为何值，f （t）+f （t+1）+f （t+2）是定值．

Answer 1

分析：（1）先根据h的最大和最小值求得A和k，利用周期求得ω，当t=0时，h=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；
（2）令最大值为3，可得三角函数方程，进而可求点P第一次到达最高点的时间；
（3）由（1）可求：f （t），f （t+1），f （t+2），进而可求f （t）+f （t+1）+f （t+2）是定值．

解答：解：（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，
建立如图所示的直角坐标系，设h=Asin（ωt+?）+k，（-

π

2

＜?＜0），
则A=2，k=1，
∵T=3=

2π

ω

，
∴ω=

2π

3

∴h=2sin（

2π

3

t+?）+1，
∵t=0，h=0，
∴0=2sin?+1，
∴sin?=-

1

2

，
∵-

π

2

＜?＜0，
∴?=-

π

6

，
∴h=2sin（

2π

3

t-

π

6

）+1
（2）令2sin（

2π

3

t-

π

6

）+1=3，得sin（

2π

3

t-

π

6

）=1，
∴

2π

3

t-

π

6

=

π

2

，
∴t=1，
∴点P第一次到达最高点大约要1s的时间；
（3）由（1）知：f （t）=2sin（

2π

3

t-

π

6

）+1=

3

sin

2π

3

t-cos

2π

3

t+1，
f （t+1）=2sin（

2π

3

t+

π

2

）+1=2cos

2π

3

t+1，
f （t+2）=2sin（

2π

3

t+

7π

6

）+1=-

3

sin

2π

3

t-cos

2π

3

t+1，
∴f （t）+f （t+1）+f （t+2）=3（为定值）．

点评：本题以实际问题为载体，考查三角函数模型的构建，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是构建三角函数式，利用待定系数法求得．