Question

某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0.5千美元～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
（1）下列几个模拟函数中：①y=ax²+bx；②y=kx+b；③y=log_ax+b；④y=a^x+b（x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L）．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；
（2）若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5L，把（1）中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？

Answer 1

分析：（1）用①来模拟比较合适．理由是：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间[0.5，8]上是单调函数．
（2）因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；若人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把x=1，y=2；x=4，y=5代入到y=ax²+bx，解得a=-

1

4

，b=

9

4

，所以函数解析式为y=-

1

4

x2+

9

4

x．（x∈[0.5，8]），再用配方法能求出当x=

9

2

时，年人均A饮料的销售量最多是

81

16

L．

解答：解：（1）用①来模拟比较合适．
因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
而②，③，④表示的函数在区间[0.5，8]上是单调函数，
所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．
（2）因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；
若人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，
把x=1，y=2；x=4，y=5代入到y=ax²+bx，
得

2=a+b 5=16a+4b

，解得a=-

1

4

，b=

9

4

，
所以函数解析式为y=-

1

4

x2+

9

4

x．（x∈[0.5，8]）
∵y=-

1

4

x2+

9

4

x=-

1

4

（x-

9

2

）²+

81

16

，
∴当x=

9

2

时，年人均A饮料的销售量最多是

81

16

L．

点评：考查学生会根据实际问题选择函数类型，会用不同的自变量取值求二次函数的最值，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐条件，合理地进行等价转化．