Question

已知复数z=(2+i)m2-

6m

1-i

-2(1-i)．
（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是：①实数； ②虚数；③纯虚数；
（Ⅱ）在复平面内，若复数z所对应的点在第二象限，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）首先把复数进行整理，先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数化成代数形式的标准形式，（1）当这个数是实数时，需要虚部等于0，（2）当复数是一个虚数时，需要虚部不等于0，（3）当复数是一个纯虚数时，需要实部等于零而虚部不等于0，
（II）复数z所对应的点在第二象限时，得到实部和虚部的范围，解不等式组即可．

解答：解：（Ⅰ）复数z=（2+i）m²-

6m

1-i

-2（1-i）=2 m2-2-

6m(1+i)

(1+i)(1-i)

+m2i+2i
=2m²-3m-2+（m²-3m+2）i
（1）当这个数是实数时，
有m²-3m+2=0，
∴m=2 或1；     
（2）当数是一个虚数，
m²-3m+2≠0，
∴m≠1 且 m≠2  
（3）当数是一个纯虚数
有2m²-3m-2=0，
m²-3m+2≠0，
∴m≠2
（II）在复平面内，若复数z所对应的点在第二象限，
有

2m 2-3m-2＜0 m 2-3m+2＞0

解得：-

1

2

＜m＜1，
∴m的取值范围：-

1

2

＜m＜1．

点评：本题考查复数的意义和基本概念，解题的关键是整理出复数的代数形式的标准形式，针对于复数的基本概念得到实部和虚部的要满足的条件．