Question

（选作题）定义在（-1，1）上的函数y=f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都有．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）如果当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（-1，1）上是单调递减函数；
（3）在（2）的条件下解不等式：．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=y=0 可求得f（0）=0；令y=-x代入可判断f（x）的奇偶；
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，利用f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=，分析判断出-1＜＜0，再结合条件即可证明结论；
（3）利用（1）f（x）为奇函数与（2）f（x）在（-1，1）上是单调递减函数将转化为，脱掉f，化为不等式组解之即可．
解答：解：（1）f（x）为奇函数．
  令x=y=0，代入有，
  2f（0）=f（0），f（0）=0；
  令y=-x，代入得：
  f（x）+f（-x）=f（0）=0，（xy≠-1，由定义域易知其满足）
∴f（x）=-f（-x），得证．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=，
由题设知，必有-1＜＜1
又x₁-x₂＜0，由x₁，x₂∈（-1，1），可得-x₁•x₂∈（-1，1），所以1-x₁•x₂＞0，
所以-1＜＜0，又x∈（-1，0）时f（x）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
即f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）∵，f（x）为奇函数，
∴，函数y=f（x）定义在（-1，1）上，f（x）在（-1，1）上是单调递减函数，
∴解得：
∴不等式的解集为：{x|}．
点评：本题考查函数的性质，难点在于第（2）问函数单调性的证明中-1＜＜0的分析，级第（3）解不等式组，综合考查学生的分析，计算及正确推理的能力，是难题．