Question

已知a是给定的实常数．设函数f（x）=（x-a）²（x+b）e^x，b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点．
（1）求b的取值范围．
（2）设x₁，x₂，x₃是f（x）的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x₄∈R，使得x₁，x₂，x₃，x₄的某种排xxi1，xi2，xi3，xi4（其中{i₁，i₂，i₃，i₄}={1，2，3，4}）依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的x₄；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出原函数的导函数，得到导函数f′（x）=e^x（x-a）[x²+（3-a+b）x+2b-ab-a]，而g（x）=x²+（3-a+b）x+2b-ab-a的判别式大于0，函数g（x）有两个不同的零点，由题意可知，a应在g（x）的两个零点之间且满足g（a）＜0，由此可以求解b的取值范围；
（2）假设存在b及x₄满足题意，则由（1）对x₁，x₂，x₃，x₄的排列顺序分类，分x₂-a=a-x₁时和x₂-a≠a-x₁时进一步讨论求解b和x₄的值，由此得到答案．

解答：解：（1）f′（x）=e^x（x-a）[x²+（3-a+b）x+2b-ab-a]，
令g（x）=x²+（3-a+b）x+2b-ab-a，
则△=（3-a+b）²-4（2b-ab-a）=（a+b-1）²+8＞0，
于是可设x₁，x₂是g（x）=0的两实根，且x₁＜x₂．
①当x₁=a或x₂=a时，则x=a不是f（x）的极值点，此时不合题意．
②当x₁≠a且x₂≠a时，由于x=a是f（x）的极大值点，故x₁＜a＜x₂．即g（a）＜0，
即a²+（3-a+b）a+2b-ab-a＜0．所以b＜-a．所以b的取值范围是（-∞，-a）；
（2）由（1）可知，假设存在b及x₄满足题意，则
③当x₂-a=a-x₁时，则x₄=2x₂-a或x₄=2x₁-a，于是2a=x₁+x₂=a-b-3，即b=-a-3．
此时x₄=2x₂-a=a-b-3+

(a+b-1)2+8

-a=a+2

6

，
或x₄=2x₁-a=a-b-3-

(a+b-1)2+8

-a=a-2

6

，
④当x₂-a≠a-x₁时，则x₂-a=2（a-x₁）或a-x₁=2（x₂-a），
（ⅰ）若x₂-a=2（a-x₄），则x₄=

a+x2

2

，于是3a=2x₁+x₂=

3(a-b-3)- (a+b-1)2+8

2

，
即

(a+b-1)2+8

=-3（a+b+3），于是a+b-1=

-9- 13

2

，
此时x₄=

a+x2

2

=

2a+(a-b-3)-3(a+b+3)

4

=-b-3=a+

1+ 13

2

．
（ⅱ）若a-x₁=2（x₂-a），则x₄=

a+x1

2

，
于是3a=2x₂+x₁=

3(a-b-3)+ (a-b-1)2+8

2

，
即

(a-b-1)2+8

=3（a+b+3），于是a+b-1=

-9+ 13

2

．
此时x₂=

a+x1

2

=

2a+(a-b-3)-3(a+b+3)

4

=-b-3=a+

1- 13

2

．
综上所述，存在b满足题意．当b=-a-3时，x₄=a±2

6

；
当b=-a-

7+ 13

2

时，x₄=a+

1+ 13

2

；
当b=-a-

7- 13

2

时，x₄=a+

1- 13

2

．

点评：本题考查了函数在某点处取得机制的条件，考查了等差数列的性质，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了学生的运算能力，是难度较大的题目．