Question

已知抛物线方程为x²=12y，直线l过其焦点，交抛物线于A、B两点，|AB|=16．
1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
2）求A、B中点的纵坐标．

Answer 1

分析：1）由抛物线方程x²=12y即可求得其焦点坐标和准线方程；
2）（解法一）设直线l的斜率为k，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B的中点M（x₀，y₀），直线的方程：y=kx+3，
联立方程组得：

y=kx+3 x2=12y

，消去y，利用△＞0判断后，用弦长公式|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=16求得k，y₀可求；
（解法二）设直线l的斜率为k，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B的中点M（x₀，y₀），|FA|+|FB|=|AB|=16，由抛物线定义，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，可得y₁+3+y₂+3=16，而y0=

y1+y2

2

，从而问题解决．

解答：解：1）由抛物线方程为x²=12y，对比标准方程x²=2py（p＞0）可得2P=12，P=6，
∴焦点F（0，3），准线方程为：y=-3…（4分）
2）（解法一）设直线l的斜率为k，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B的中点M（x₀，y₀）．
则直线l的方程：y=kx+3，与抛物线联立方程组得：…（5分）

y=kx+3 x2=12y

，…（7分）
消去y，整理得：x²-12kx-36=0…（9分）
方程中，△=（-12k）²-4（-36）=144k²+144＞0，有两个不同的根；
由根与系数的关系得：x₁+x₂=12k，x₁x₂=-36…（10分）
又|AB|=16，即|AB|=

(1+k2)((x1+x2)-4x1x2)

=16，…（11分）
代入，整理得：(1+k2)2=

16

9

，
∴k2=

1

3

…（12分）
∵M（x₀，y₀）在直线l上，
∴y₀=kx₀+3，y0=k•

x1+x2

2

+3=6k2+3…（13分）
∴y₀=5，即A、B中点的纵坐标为5…（14分）
（解法二）：设直线l的斜率为k，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B的中点M（x₀，y₀），
过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为P、Q，焦点F在弦AB上，…（5分）
|FA|+|FB|=|AB|=16，…（6分）
由抛物线定义，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，…（8分）
而|AP|=y1+

p

2

=y1+3，…（9分）
|BP|=y2+

p

2

=y2+3，…（10分
∴y₁+3+y₂+3=16，y₁+y₂=10，…（12分）
  y0=

y1+y2

2

=5…（13分）
即A、B中点的纵坐标为5…（14分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，着重考查弦长公式的使用及抛物线定义的灵活运用，属于中档题．