Question

设单调递增函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y有f（xy）=f（x）+f（y），且f(

1

2

)=-1．
（1）一个各项均为正数的数列{a_n}满足：f（s_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1其中S_n为数列{a_n}的前n项和，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，是否存在正数M使下列不等式：2ⁿ•a₁a₂…a_n≥M

2n+1

(2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)对一切n∈N^*成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1由题设知f(Sn)=f[(an2+an)×

1

2

]．Sn=

1

2

(an2+an)．由此能求出数列{a_n}的通项公式；
（2）、假设M≤

2na1a2an

2n+1 (2a1-1)(2a2-1)(2a n-1)

对一切n∈N^*恒成立．令g(n)=

2na1a2an

2n+1 (2a1-1)(2a2-1)(2an-1)

，g(n+1)=

2n+1×1×2××n×(n+1)

2n+3 ×1×3××(2n-1)(2n+1)

．故

g(n+1)

g(n)

=

2n+2

2n+1 2n+3

=

4n2+8n+4 4n2+8n+3

＞1，由此能导出n∈N^*，g（n）≥g（1）=

2 3

3

，0＜M≤

2 3

3

．

解答：解：（1）∵对任意的正数x、y均有f（xy）=f（x）+f（y）且f(

1

2

)=-1．（2分）
又∵a_n＞0且f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1=f（a_n）+f（a_n+1）+f(

1

2

)．
∴f(Sn)=f[(an2+an)×

1

2

]．（4分）
又∵f（x）是定义在（0，+∞]上的单增函数，
∴S_n=

1

2

(an2+an)．
当n=1时，a₁=

1

2

(a12+a1)，
∴a₁²-a₁=0∵a₁＞0，
∴a₁=1．
当n≥2时，∵2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0．
∵a_n＞0∴a_n-a_n-1=1（n≥2），
∴{a_n}为等差数列，a₁=1，d=1
∴a_n=n．（6分）

（2）、假设M存在满足条件，即M≤

2na1a2an

2n+1 (2a1-1)(2a2-1)(2a n-1)

对一切n∈N^*恒成立．（8分）
令g（n）=

2na1a2an

2n+1 (2a1-1)(2a2-1)(2an-1)

，
∴g（n+1）=

2n+1×1×2××n×(n+1)

2n+3 ×1×3××(2n-1)(2n+1)

．（10分）
故

g(n+1)

g(n)

=

2n+2

2n+1 2n+3

=

4n2+8n+4 4n2+8n+3

＞1，
∴g（n+1）＞g（n），
∴g（n）单调递增，（12分）
∴n∈N^*，g（n）≥g（1）=

2 3

3

，0＜M≤

2 3

3

．（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．