Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分别是A₁B₁，BC的中点．
（Ⅰ）证明：AB⊥AC₁；
（Ⅱ）证明：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅲ）求二面角M-AN-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明：AB⊥AC₁，只要证明AB垂直平面ACC₁A₁内的两条相交直线AC和A₁A，即可证明AB⊥平面ACC₁A₁，从而证明AB⊥AC₁．
（Ⅱ）设AC的中点为D，连接DN，A₁D，只要证明A₁D∥MN，即可证明MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅲ）法一：作出二面角M-AN-B的平面角，通过解三角形可求二面角M-AN-B的余弦值．
法二：建立空间直角坐标系，利用向量的数量积，求解二面角M-AN-B的余弦值．

解答：解法一：
（Ⅰ）证明：因为CC₁⊥平面ABC，
所以AC是AC₁在平面ABC内的射影，（2分）
由条件可知AB⊥AC，
所以AB⊥AC₁．（4分）
（Ⅱ）证明：设AC的中点为D，
连接DN，A₁D．

因为D，N分别是AC，BC的中点，
所以DN平行等于

1

2

AB．
又A₁M=

1

2

A₁B₁，A₁B_{1平行等于}AB，
所以A₁M平行等于DN．
所以四边形A₁DNM是平行四边形．
所以A₁D∥MN．（7分）
因为A₁D?平面ACC₁A₁，MN?平面ACC₁A₁，
所以MN∥平面ACC₁A₁．（9分）
（Ⅲ）如图，设AB的中点为H，连接MH，
所以MH∥BB₁．

因为BB₁⊥底面ABC，
所以MH⊥底面ABC．
在平面ABC内，过点H做HG⊥AN，垂足为G．
连接MG，则MG⊥AN．
所以∠MGH是二面角M-AN-B的平面角．（12分）
因为MH=BB₁=2，
由△AGH∽△BAC，得HG=

1

5

．
所以MG=

MH2+HG2

=

21

5

．
所以cos∠MGH=

HG

MG

=

21

21

．
二面角M-AN-B的余弦值是

21

21

．（14分）
解法二：
依条件可知AB，AC，AA₁两两垂直．
如图，以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz．

根据条件容易求出如下各点坐标：
A（0，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），A₁（0，0，2），B₁（0，2，2），C₁（-1，0，2），M（0，1，2），N(-

1

2

，1，0)．
证明：（Ⅰ）：因为

AB

=(0，2，0)，

AC1

=(-1，0，2)，
所以

AB

•

AC1

=0×（-1）+2×0+0×2=0．（2分）
所以

AB

⊥

AC1

．
即AB⊥AC₁．（4分）
（Ⅱ）证明：因为

MN

=(-

1

2

，0，-2)，

AB

=(0，2，0)是平面ACC₁A₁的一个法向量，
且

MN

•

AB

=-

1

2

×0+0×2-2×0=0，所以

MN

⊥

AB

．（7分）
又MN?平面ACC₁A₁，
所以MN∥平面ACC₁A₁．（9分）
（Ⅲ）设n=（x，y，z）是平面AMN的法向量，
因为

AM

=(0，1，2)，

AN

=(-

1

2

，1，0)，
由

AM •n=0 AN •n=0

得

0+y+2z=0 - 1 2 x+y=0.

解得平面AMN的一个法向量n=（4，2，-1）．
由已知，平面ABC的一个法向量为m=（0，0，-1）．（12分）
设二面角M-AN-B的大小为θ，则cosθ=

n•m

|n||m|

=

1

21 ×1

=

21

21

．
二面角M-AN-B的余弦值是

21

21

．（14分）

点评：本题考查直线与直线的垂直，直线与平面的平行，二面角的知识，考查学生的空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．