Question

如图，山顶有一座石塔BC，已知石塔的高度为a．

（Ⅰ）若以B，C为观测点，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β，用a，α，β表示山的高度h；
（Ⅱ）若将观测点选在地面的直线AD上，其中D是塔顶B在地面上的射影．已知石塔高度a=20，当观测点E在AD上满足DE=60

10

时看BC的视角（即∠BEC）最大，求山的高度h．

Answer 1

分析：（1）根据题意，在△ABC中算出∠BAC=α-β、∠BCA=90°+β，利用正弦定理加以计算，即可得到用a，α，β表示山的高度h的式子；
（2）设DE=x，利用正切的差角公式与三角函数的定义列式，然后根据基本不等式，可算出当x=

h(h+20)

时，∠BEC最大，进而算出此时的h=180，即为所求山的高度．

解答：解：（1）根据题意，可得
在△ABC中，∠BAC=α-β，∠BCA=90°+β，
由正弦定理，可得

BC

sin∠BAC

=

AB

sin∠BCA

∴AB=

asin(90°+β)

sin(α-β)

=

acosβ

sin(α-β)

则h=AB•sinα-a=

acosβsinα

sin(α-β)

-a=

a•cosαsinβ

sin(α-β)

，即为所求表示式；
（2）设DE=x，
∵tan∠BED=

h+20

x

，tan∠CED=

h

x

∴tan∠BEC=

tan∠BED-tan∠CED

1+tan∠BED•tan∠CED

=

20 x

1+ (h+20)h x2

=

20

x+ (h+20)h x

≤

10

h(h+20)

当且仅当x=

(h+20)h

x

即x=

h(h+20)

时，tan∠BEC最大，从而∠BEC最大
结合题意，可得

h(h+20)

=60

10

，解之得h=180，即为所求山的高度．

点评：本题给出实际应用问题，求山高h的表示式并依此求视角最大时的山高h，着重考查了基本不等式、正弦定理与两角差正切公式等知识，属于中档题．